引言
學生數學思維發展，是校長、前線教師和家長都非常關心的課題。以近代的數學教育觀點來看，要幫助兒童發展數學思維，絕對不是要他們機械化地背誦一連串的公式和演算程序，亦不是只要求他們準確無誤地計算出正確的答案。要培養數學思維，就必須要建立基礎知識、明白運算概念、學習嚴謹推理、培育解難能力等等（Argyle,
2012; Dehaene, 1997; Geary, 1995; Hiebert, & Carpenter, 1992; Sfard,
2008）。再進一步來看，如能使學生理解數學思維背後的想像力及其人性化的思考方式，他們便更能明白學習數學的意義，而其數學心智亦能更茁壯地成長（鄧國俊,
2005；鄧國俊、鍾永, 2003）。本文的主要目的就是要探討情境化的數學教學設計 ，如何有利於兒童的數學思維及心智發展。由於篇幅有限，本文先從理念入手，而教學設計實例及解說則留待日後另文分享。
「目標為本課程」再思
九十年代的「目標為本課程」，早已提出「現實情景」的教學，但過份強調將生活情境加進數學內容中，可能會稀釋數學內涵及阻礙學習。中文大學課程與教學學系，曾於1999
年2 月 19 日舉辦一個「數學教育之生活化與數學化」研討會，研究其中的矛盾與整合。此外，黃家鳴（1997, 1998, 2001）亦曾深入及細緻地探討這課題。現將當年的主要論點簡述如下 ：
「情境化 ─ 數學化」的矛盾由來已久。美國九十年代的加州數學戰爭，以至近來內地數學課程的討論（丁銳、黃毅英、馬雲鵬、林智中,
2009），似乎都給出一個印象，就是數學家頗為強調數學之嚴謹性與抽象性
，而前線老師及數學教育工作者（包括教育心理學家和數學教育學家）雖然認同數學的嚴密性和邏輯性，但他們更關心普及教育下所面對的課堂實況。一方面﹐並不是所有學生將來的職業均與數學有關（更遑論要成為數學家）；另一方面，普及教育亦帶來個別差異和學習動機兩大問題。因此，他們提出種種方法，如：實驗、遊戲、利用情境化和生活化事例⋯⋯等，以提高學生興趣，並照顧不同能力的學生，以培養數學思維。然而﹐亦有數學教育工作者指出，如果課程編排和教學設計，缺少了對數學學理以至有關教學細節的關注和討論，數學的特質便會被淡化而至課堂教學形同「兒戲」，當年數學科目標為本課程改革，正是為此而引起爭論（黃家鳴,
1997, 1998, 2001）。而馮振業（1999, 2004, 2007）所提倡的數學化運動，是回應這挑戰的其中一個有效取徑，筆者則嘗試從另一個角度，思考如何於理念及實踐層面去回應「情境化
─ 數學化」這挑戰。
數學思維的本質：情境作為基石
數學思維的本質，是一個非常具爭議性的課題（Argyle, 2012; Dehaene, 1997; Ernest, 1991; Freudenthal, 1991; Geary, 1995; Sfard, 2008），不同的學者會提出不同的理解，並以他們的理念，發展一套可用於設計和實踐的課堂教學活動的架構（Ernest, 1991），當中亦可能會處理「情境化 ─ 數學化」這矛盾。
筆者採用的是一種具體化現實主義的數學觀（embodied realistic view of mathematics）。具體化現實主義是以認知科學的三個主要發現為基礎：心智（mind）本來就是依附在身體的、大部份思想（thought）是沒有被意識到的、抽象概念多是隱喻性（metaphorical）的（Lakoff & Johnson, 1999）。這三個主要發現不單需要一種新方法去了解理智（reason）和人類的本質，也需要一種新的方法提出哲學問題。在數學哲學的範疇上，Lakoff & Nuñez（2000）相信，從普通的認知機制出發，概念隱喻在塑造數學意念時扮演一個重要的角色，而概念隱喻又可簡單分為基礎隱喻（grounding metaphors）和關聯隱喻（linking metaphors）。基礎隱喻可以產生初級和基本的數學意念，例如把加法看為在一堆物件中再增添幾個；把減法看為在一堆物件中取去幾個；把集合看作一個容器，集內的元素則看作容器內的物件。這可謂非常簡單直接，不必多作解釋。而關聯隱喻可以產生較複雜的數學意念，亦即是較抽象的意念。例如把數字看作一條數線上的某一點，或者以幾何圖形來表示一條代數方程，這就需要作出相當程度解說才能使學習者理解掌握。簡而言之，生活化和情境化就是數學的本質，集與邏輯亦是從這些基石而來。
數學思維的本質：以算術運算為例
神經心理學研究的實徵數據似乎都支持人類與生俱來有一種數字感（number sense），讓我們能夠以直觀方式明白自然數及其基本的運算。對數量的直觀式了解可謂深藏在我們的大腦之中。數量似乎是人類藉以理解外在世界的神經系統中一個基本向度。我們不能夠避免看到物件的顏色⋯⋯同樣，數量的概念也藉着下頂葉（inferior parietal lobe）的某個區域使我們被動地接受。我們大腦的結構決定和規限了我們藉以通過數學理解世界的範疇（Dehaene 1997, 頁245）。再加上我們的祖先所發展出來那一套極其有力的數字系統，繁複的計算可以簡化為草稿紙上一堆符號的運算。Lakoff & Nuñez（2000）扼要地把這段文明進化史作出詮釋：
| 現今我們所採用的數字標示方法和運算方式，均源於肉身化的因素
── 為了方便我們頭腦的認知過程，也因為我們有十根指頭，並以此數數。也為了我們肉身化的因素，我們使用了這線性而且有序的符號標示法來表達數學。我們的書寫系統是線性的，因為我們手臂的動作，以及我們的視線都是以線性方式運作的。一個線性符號系統也就是數學的核心。我們今天所用的那一套線性、講求位置的、以多項式為基礎的標示系統，就是我們在肉身的限制（手臂和視線）、認知限制（視覺、注意力、記憶、分析能力），以及概念隱喻的制約下的最優化結果（Lakoff
and Nuñez, 2000, 頁86）。 |
但可惜的是：人類這種對數字的直觀式領悟並不包括零、負數、分數、無理數和複數。換言之我們的大腦之中並沒有與生俱來的心智範疇來處理這些數學概念，故我們對此不容易靠直覺理解（Dehaene 1997; Geary 1995; Lakoff & Nuñez 2000）。這就解釋了為何許多學生在學習分數、零、負數及其基本運算時經常遇上困難。換句話說，我們的教與學，深受我們的生理和心理因素所限制。
數學思維培養的理論基礎：以算術運算為例
有些人以為不斷的重複操練是克服上述生理和心理限制的最佳辦法。但近期研究指出，利用隱喻的方式和情境化的方法去解決這問題，效果可能更佳（鄧國俊, 2005; 鄧國俊、鍾永康, 2003）。
Lakoff & Nuñez（2000）強調人類並不是機器，他們指出算術運算可以有四種基礎隱喻：把算術看成物件的組合、把算術看成物件的建構、量尺的隱喻和把算術看成是一條路線上的運動。這都是產生算術領悟和構成算術意念的基本認知機制。Dehaene（1997）亦慨歎地指出孩子並非一部機器，我們不應期望孩子像電腦一樣，只遵守一些運算法規來處理一堆數字符號，而沒有真正理解箇中含義。
在過去的新數學運動（Modern Mathematics Movement）年代，有些數學教育工作者提出使用集合、邏輯、公理和嚴謹方法來增加學生對數學的理解（鄧國俊、黃毅英、霍秉坤、顏明仁及黃家樂，2006）。但新近的研究發現，利用隱喻和情境來設計教學可能是更好的選擇。Dehaene（1997）指出既然我們天賦只能以直觀方式理解正整數，要幫助學生明白零、分數和負數，教師就須要讓學生將新穎模型拼湊起來，以建立新的直觀式理解。Lakoff & Nuñez（2000）提出算術的四個基礎隱喻可以幫助學生有效伸延他們與生俱來對算術的理解能力。舉例來說，把算術看為一條路線上的運動這個隱喻就讓數線上零點的兩旁可以作無限的伸延。零和負數均可以概念化成為線上的某一點位置；分數可以理解為整數之間的某一點；除數又可以利用線上的距離來幫助理解。要完滿處理零、負數和分數的運算，就有需要用上伸延或拉長的隱喻。
以學習有向數（正負數）為例，趙明明（Chiu 2001, 2002）的研究顯示，對有向數有深入認識的成年人，較初學有向數的學生，更能以不同形式的隱喻去理解有向數算式；而進行有向數解難活動時，初學者會較成年人更依賴隱喻思考來進行運算或檢查錯誤；此外，隱喻思考亦有助初學者計算出準確答案。Dehaene（1997）亦認為使用隱喻和情境，在理論和實際教學上均是有效的方法，這些隱喻和情境包括財務管理中的盈虧、數線上的左右移動、物體的正負溫度等。
總結
蕭文強（1978）在《為甚麼要學習數學》便提出數學既是源於具情境的生產實踐，亦是由具體到抽象、由歸納到演繹的過程。這是他從數學發展史中得到的啟示﹐而個體的數學學習又與人類整體數學發展歷程相類似（鄧國俊、鍾永康, 2003），故在數學教學中引入具現實或非現實情境的生活化、遊戲化、故事化等教學設計，是值得大力提倡的。當然，「如何引導學生從具現實或非現實情境中，逐漸抽象化而理出相關的數學概念？」及「如何用嚴謹的數學方法得出結論？」等問題亦要小心回應，以免掉入數學的特質被淡化而至課堂教學形同「兒戲」這陷阱。由於篇幅有限，有關教學設計實例及解說則留待日後另文分享。
當然是指具良好質素的教學設計，而不是隨意引入生活化或情境化元素的設計。
詳情可參閱黃家鳴（1997，1998，2001）三篇文章。
如非主修數學科的前線老師，可上網翻閱黃毅英、張僑平、許世紅、蘇洪雨、陳鎮民、張家麟、黃麗珍、謝明初、蔡勁航（2013），《數學教師不怕給學生難到了！──
中小學數學教師所需的數學知識》，香港：教育局課程發展處數學教育組 [http://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/
res/Cabinet%2014.pdf]，便可對數學的嚴謹性與抽象性有一定的理解。
參考文獻
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• 黃家鳴（1997），〈生活情境中的數學與學校的數學學習〉，《基礎教育學報》7 卷12 期，頁161-167。
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• 黃家鳴（2001），〈現實情境作為數學學習的起點：荷蘭經驗〉，《數學教育》11 期，頁34-46。
• 黃毅英、張僑平、許世紅、蘇洪雨、陳鎮民、張家麟、黃麗珍、謝明初、蔡勁航（2013），《數學教師不怕給學生難到了！── 中小學數學教師所需的數學知識》，香港：教育局課程發展處數學教育組。[http://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development /kla/ma/res/Cabinet%2014.pdf]
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• 鄧國俊、黃毅英、霍秉坤、顏明仁、黃家樂（2006），《香港近半世紀漫漫「小學數教路」：現代化、本土化、普及化、規範化與專業化》，香港：香港數學教育學會。
• 鄧國俊、鍾永康（2003），〈數學史與數學課程改革：學養心智理論的啟思〉，載鄧幹明及曾倫尊（編），《學會學習：數學課程改革評析》（頁92-109），香港：香港數學教育學會。
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