在1995年舉行的第三次國際數學與科學教育成就趨勢調查〔Third International Mathematics and Science Study (TIMSS)〕的結果顯示，不同國家的九歲學童在數學方面的表現十分參差（Keys et al., 1996）。這些結果引發很多國家全面檢視他們在算術概念和技巧的教學實踐，特別是多位數的計算方法。在這之前，不同年代的教師都教授多位數的標準計算程序（一般稱為「直式」），亦從無人對此方法有任何質疑。但近年來，很多西方數學教育學家對在初小階段教授標準計算程序的效益產生懷疑（Anghileri et al., 2002），而西方國家的數學教育學家之間，也對在小學階段應採用哪一種方法教授多位數的計算有過激烈的爭論。

　　讓我們先看看一些教育體系在教授多位數計算時所採用的不同方法。很多東南亞國家都在小學教育的初期教授標準計算程序，TIMSS等國際性研究的結果都反映這教學方法似乎在發展兒童的算術能力方面頗有成效。美國的很多小學都會在二年級（七到八歲）完結前教授加和減的標準計算程序，而即使教師已為學生提供使用和討論其他計算策略的機會，這些標準計算程序在三年級學生作出計算時仍佔一個很重要的地位。為英國所採用的「國家算術課程策略」〔National Numeracy Strategy (NNS)〕 而設的「三天教師培訓課程：課程導師錦囊」（Three-day Course: Course Tutor’s Pack）中，提到「課程目標是所有達十一歲的學童皆可以用一種標準的筆算方法來進行每一種算術計算」（DfEE 1999a, p.68）。雖然有了這個對標準筆算方法的要求，NNS也十分重視在初小階段引入心算的不同策略，如「順/倒數的排序」（sequencing）以及「分割」（partitioning）（DfEE 1999b）。Brown（1997）指出，當學童定期地鍛煉心算的方法，他們會逐步地發展或採用較有效率和有彈性的計算策略。荷蘭推行的「現實數學教育」〔Realistic Mathematics Education (RME)〕運動在計算方法的教學上引入了一些根本性的改變。van den Heuvel（2001）概述了RME內的建議，主張應先以心算方法為重點，然後才發展不同層次的筆算方法。Beishuizen（2001, p.119）闡釋了RME的取向是讓學童「透過互動的教學來解決各式現實生活中的問題，而不是直接地教授標準計算程序」。由以上所述，可見不同國家採用多種不同的方法來教授算術計算，而學生在國際性測試中的算術能力表現也有着很大的差異。很多國家現正尋求更具實驗檢證的方法，來教授多位數的概念和計算程序，以促進學童理解和掌握這些概念和程序，而西方國家特別關注在小學階段應何時引入心算策略和標準計算程序。

相對於標準計算程序的「創意策略」

　　確切地說，西方文化那麼重視的心算方法和策略實在是甚麼呢？它們是否就是本港教師所熟識的所謂「心算」（mental arithmetic）呢？越來越多研究證據顯示，無論在校內還是校外，兒童不需透過教師對個別計算程序的清晰和明確教授也能建構出多位數的加、減方法（例如Carpenter & Fennema, 1992；Nunes, 1992; Kamii, 1989；Cobb & Wheatley, 1988；Labinowicz, 1985）。兒童能採用不同的策略來解答不同複雜程度的多位數問題，而這些策略中有很多是他們獨自或集體地建構出來的。由於這些方法是兒童在沒有透過教師的清晰和明確教授下建構或創作出來的，這些計算步驟多稱為「創意策略」（invented strategies）。然而，Threlfall（2000）提出，為了能使計算更有效及更快捷，還需包括作彈性計算這個元素。因此，他對哪一些兒童的計算方法可稱為「創意策略」提供了較明確的界定。他強調：

　　學術研究員曾把兒童在進行計算時所採用的各種策略，以不同方式和不同程度的通則作出分類和標籤。例如，Fuson et al.（1997）把多位數加、減的「創意策略」分為三個基本類別，它們分別是（i）順/倒數的排序（sequencing）、（ii）分別把相同位值的數字結合（combining units separately）和（iii）補足（compensating）。現以實例說明這些類別：

（i） 順 / 倒數的排序（sequencing）

58 + 27 = 85：58加10是68，再加10是78，再加2是80，最後加上剩下的5得出85。

71 – 38 = 33：從71減去10是61，再減去10是51，再多減去10是41，然後減去1得40，最後減去7得出33。

（ii） 分別把相同位值的數字結合（combining units separately）

58 + 27 = 85：50加20是70，8加7是15，70加上15中的10得80，再加上剩下的5得出85。

71 – 38 = 33：從70減去30是40，由於不能從1減去8，故先從這個1取去1，還要從40取去7，所以答案是33。

（iii） 補足（compensating）

58 + 27 = 85：把27加上60得出87，但多加了2，所以答案是85。

71 – 38 = 33：從71減去40是31，但多減了2，所以答案是33。

　　這三個基本類別與其他研究兒童所用計算策略的分類大致相符，例如Beishuizen與Anghileri（1998）描述了兩種常見的策略：（1）每十（往上或往下）一跳及（2）把十位和個位分開處理。這兩種策略分別與「順/倒數的排序」及「分別把相同位值的數字結合」兩個類別十分相似。Thompson（1997a和1997b）辨別出五種兩位數加法的策略，其中的「部分和策略」（partial sum strategies）即是「分別把相同位值的數字結合」，「推論事實策略」（derived fact strategies）在某些例子上與「補足」相似，而「累積和策略」（cumulative sum strategies）則與「順/倒數的排序」十分相似。在重新分析1987年的Assessment of Performance Units統計資料時，Foxman（2001）描述了學生在解答心算問題時所用的「配數」（Complete Numbers）和「拆數」（Split Numbers）方法及其次類別，這些方法與次類別其實只是以上三種基本類別的特殊情況。事實上，早在1990年代初，荷蘭的「現實數學教育」運動已辨別出兒童常用的策略，並把它們以N10、A10、N10C和1010等的簡稱命名（Beishuizen, 1993）。

　　本港教師多會認為這些計算方法笨拙和突兀，故傾向採用較整齊、有效率和簡潔的標準計算程序（即直式）。若我們的主要着眼點是計算速度、整齊性和簡潔性，對於這個傾向筆者是絕對贊同的。然而，若我們視數學教學為讓學生獲得具意義的學習經歷，以促進他們的創意思維、解難能力和同儕協作，則在正式引入標準計算程序前，如先以上述的方法鼓勵學生集體地建構策略來進行多位數的加、減，可會是一個寶貴的學習活動。根據香港正推行的課程改革，創意思維和解難是我們希望學生能在學習中發展的主要共通能力（generic skills），而「創意策略」確是有創意的本質，也必定涉及解難的成分。如上述例子般在課堂討論中要求學生解說他們的「創意策略」也可以提升他們的溝通能力，這也是在學習過程中需發展的另一個共通能力。再者，有研究證據顯示讓學生使用「創意策略」在教學上有其他好處，我們會在稍後再探討這議題。

　　我們已談過加法和減法的「創意策略」，那麼，乘法和除法又如何呢？學生能建構和創作出怎樣的「創意策略」？筆者會各以一個例子展示乘法和除法的情況，讓讀者們嘗試運用他們的想像力，或在課堂中與自己的學生一起作試驗。

以72 | 19和9934 ÷ 28這兩道問題為例：

只要明白乘法和除法的基本概念，一些小學生可能構作出以下的計算方法。

　　不難看到，以上兩道問題的標準計算程序只是一種精簡的形式把一組一組的數目用連加或連減的方法綜合起來。透過採用不同大小的多組數目，可引領兒童發現可彈性地用很多不同的方法來分拆計算程序。如前文引述Brown（1997）的論點，就着心算的方法，兒童在經過足夠的鍛煉和討論後，他們會發展或採用較有效率和有彈性的計算策略。差不多十五年前，筆者曾目睹一個約十六歲的外國年青人正計算一道三位數除以兩位數的問題，如447 ÷ 38，他不斷從447減去38直至找出商和餘數為止。筆者當時對他所用的「笨拙」方法感到驚訝，但現在回想過來，若用更開明及自我反省的態度看這件事，這位年青人實在是明白除法的意義，並以所知的概念和技巧努力嘗試，最後成功地解決問題。當香港學生遇到相同問題，但卻忘記了除法的標準計算方法時，他們又會怎樣做呢？除了使用標準計算程序來解答這問題，教師們有否為他們裝備其它可供選擇的方法呢？學童們在學習標準計算程序時是否把這些方法看成有意義的程序？還是把它們看成只是一些強記的機械化規則？當然，一些教師可能會認為，既然現在的學童已常用計算機作計算，何苦還要拘泥於這些瑣碎，而且顯淺的問題呢？

「創意策略」的成效

　　那麼，「創意策略」在教學上是否有重大的意義？西方教育體系在過去做了大量的研究，探究有關「創意策略」對兒童學習多位數概念和計算程序的影響，例如Carpenter et al.（1998）所作的三年追縱研究，研究結果顯示學童在學習多位數加、減的標準計算程序（即直式）前，若先使用「創意策略」進行多位數的加、減計算，他們會展現出學習多位數概念及計算程序的一些正面成效：

（1） 他們能有彈性地從兩種方法中選取適用的一種作計算。相反，若學童先使用標準計算程序，他們會傾向主要地依賴這些方法，即使在他們看過實際示例後，他們大部分仍不能依指示使用「創意策略」。

（2） 他們能較早發展出多位數位值的概念，並相比於主要依賴標準計算程序的同齡群組，對位值的概念有較深入的理解。

（3） 他們會較少在計算程序上發展出有系統的錯誤（buggy algorithms/ systematic errors）。

（4） 他們能彈性地使用「創意策略」，把曾用過的策略應用在新的情境上，並解決延伸的問題，即是他們能更有效地把所學到的知識轉移（transfer of learning）。

讓我們再進一步討論上述的每一個正面成效：

（1） 對任何數字，只按一套既定程序進行某一項算術計算明顯地是不太有效的，而且計算的效率亦低。較好的計算策略是因應涉及的數字，從一系列計算方法中選取最合適的方法來進行計算。當Sugarman（1997）強調該因應涉及的數字而選取合適的計算策略時，他所注重的就是這種在計算要求下的決策性。幫助學童，使他們能有彈性地從一系列計算方法中選取某特定方法，應是教授算術運算時的一個較理想的教學取向。Carpenter et al. 的研究顯示在學習算術運算的初期使用「創意策略」能促進學童有彈性地選擇計算策略。

（2） 過去有多位學者提出，位值的概念是理解多位數及其運算的基礎，而 Williams和Shuard（1976, p.120）建議，「當要寫出大於10的數時，我們便即時需要介紹這個記數法的結構」。因此，在學習多位數的初期引入位值的概念是常見的做法。然而，最近一些研究學者明確指出，位值是很複雜的概念，一般學童會較難理解。例如，Ifrah簡明地總結出：

這總結暗示位值的概念確是複雜的。Thompson（2000）表明位值可清晰地辨別為兩個次概念（sub-concepts）：“quantity value”和“column value”〔例如就6 379這個數來說，數字「3」的實際數值是300，但它是在百位〕，而學童較易理解前者，但較難掌握後者的意思。再且，Askew和Brown突出地表明

Carpenter et al. 的研究提出證據，顯示在學習標準計算程序前先使用「創意策略」的學童，他們不只較早發展出位值的概念，亦對這些概念有較深入的理解。

（3） Thompson（2003）利用一些有充份文獻支持的示例，以學童在進行多位數的標準計算程序時所犯的系統錯誤（systematic errors）來說明他們對位值概念的誤解。以下是一些系統錯誤的例子：

就加法和乘法的例子，學童只把每個位值上的數字相加或相乘，並順序寫下結果，而沒有理會每直行應表示的位值；就減法的例子，「大減小的毛病」（‘small from big’ bug）是一個十分常見的錯誤，理由是學童把「十位」和「個位」上的數字拆開，並分別處理（Brown and Burton, 1978）。對於這些系統錯誤的因由，Thompson的推想是學童太早使用標準計算程序，而相比於較非正規的心算策略，這些標準計算程序涉及相當複雜的位值概念，令年幼的學童難於掌握。Carpenter et al. 的研究顯示學童使用「創意策略」能促進他們對位值概念的理解，並減低犯系統錯誤的機會。

（4） 有關學習和知識的轉移，簡略地我們可定義學習為增加和修訂知識的過程，而轉移則是把知識應用在新情境上的過程。Greeno et al.（1996）說學習和轉移是教育心理學的重要議題，而學習和轉移的研究常常使用涉及轉移的課業來測試學生有否達到理解的程度。教師當然希望學生能把課堂內學得的知識應用到校外的生活上。然而，大量的研究卻指出學生通常都不能把學得的知識轉移。Brown（1989）留意到在有關學童是否有能力作出轉移的研究中，一般都發覺轉移未有發生。相對下，Carpenter et al. 的研究提供證據，顯示學童使用「創意策略」能促進他們在學習上的轉移。

　　以上的討論說明了一些研究證據，支持「創意策略」對學童學習算術概念和運算有正面成效的說法。另一個研究證據的例子是Anghileri et al.（2002）所進行的研究，這項研究探究了英國和荷蘭的九和十歲學童進行除法時所用的筆算方法，而這項研究為學童在同一學年內，但在不同時間施行了兩次測驗。英國的學童廣泛地使用除法的標準計算程序，而這計算方式亦為學童提供了一套以筆紙記錄計算步驟的架構；反之，在本文中提及的「現實數學教育」（RME）運動的影響下，荷蘭學童採用多樣的計算方法，包括非公式化的策略至較有結構性的程序。當比對兩國學童所用的計算方法時，發現荷蘭學童的方法有較多成功例子；而比較兩國學童在第一和第二次測驗的個別成績時，荷蘭學童亦有較佳的進步（69% 的學童在第二次測驗所得的分數比第一次的高），但約一半（49%）英國學童的表現則沒有任何進步，甚至有倒退的情況。這些研究對教學而言，似乎指出我們應幫助年幼學童盡早發展「創意策略」。

促進「創意策略」的課堂教學

　　若「創意策略」對學童學習多位數的概念和運算有這樣的正面影響，我們何不直接教授這些策略呢？有幸研究學者的啟發，指出「創意策略」不應直接教授，否則，如標準計算程序一樣，學童會用牢記的方法，把「創意策略」看成為機械式的計算程序。切實地，Threlfall（2000）勸告教師，學童由直接教授所學得的不會轉化為有成效及有效率的心算能力。他建議了一些教學方法來幫助學童發展計算策略，而不是以直接教授的方法使他們獲得這些策略。他簡潔地總結出發展學童心算策略的教學方法為：不斷地給學童提供機會，逐步擴展計算題情境的範圍，使他們在有支援、有層次的挑戰的情況下進行計算，再輔以其他教學活動令學童

‧ 擴闊已知數字組合的基礎，以便他們隨時可回憶起、依賴和運用；

‧ 強化學童對轉化數字的不同可能性的認識，即是可怎樣把數字分拆、可怎樣改變數字的組合等。

Clarke（1997）指出教師亦可藉著提升課堂上創造的文化和氣氛，為改進學童的計算能力出一分力。她以下列訊息帶出教師可怎樣改變他們的教學行為：

‧ 任何數學難題都不會有唯一的正確解答方法；

‧ 就同一數學難題，常常都會有不同的解答方法；

‧ 不同的學生常常會用不同的方法解答同一數學難題；

‧ 對其他人可行的解題方法對你未必一定可行；

‧ 你應按你認為可行的方法去解答數學難題，而不需憂心其他人怎樣做（然而，若果你喜歡他人的方法，你仍需要留意他們的做法）；

‧ 嘗試用不同的解題方法是好的，即使那意味着你有時會不成功。

發展和內化非公式化的心算策略，如加、減法的「順/倒數的排序」和除法的「連減」等，可引伸出一些計算程序，而學童可有信心和有成效地使用這些程序，尤以那些能力較低的學童。因為這類非正規的程序可在不同層次的複雜程度和效率下被採用，所以它們特別適宜用來配合不同能力的學生的學習需要。再且，這類非公式化的策略可使學生對算術運算的方法保持着選擇性，他們可隨時應用這些策略，繼續感受到運算背後的思維的擁有權。西方國家的數學教育學者的論點認為這教學取向可引導學生由直觀的策略，順利過度到較正規化的計算程序，而避免了將標準計算程序視為既定規則，機械化地運用。當然，我們不能否定，至少對某些學生來說，非正規的心算策略有機會不能成功地轉化為簡潔而有效率的標準計算程序。

結語

　　總結來說，筆者絕對沒意暗示我們應在初小階段放棄教授標準計算程序。若我們較仔細地看看本地的小學數學課本或在香港小學課堂上的教學活動，我們可察覺到本文所論及的「創意策略」的痕跡。例如，在計算多位數的乘法時，如34 | 27 = 918，我們可找到下列把數字「分割」和作出不同組合以應用乘法的分配性質的例子：

然而，這些探究很快便被標準計算程序所取代，教師再沒有給予學生足夠機會去探索和試驗不同的非正規策略。若因為我們覺得「創意策略」是笨拙的便即時否定它們的教學價值，不再探討其可以引伸出有意義的學習機會的可能性，那麼，我們是否已忘記了要展現香港著名數學教育學者蕭文強教授（Siu et al., 1993）所提出的數學「學養教師」應有的素質呢？我們應否只自滿於我們的學生在算術上的熟練表現，而不需再理會其他教育體系對教授多位數運算的別類方法的研究？筆者只希望本文能刺激我們數學科的教師和教育工作者作出反思，而我們若能採用開放的態度來面對新的教學理念，我們或能把這些新理念作出調適和修改，以配合香港的教學形勢，並從中得益。