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由 鄧國俊博士 回覆：
這個問題看似簡單，但要視乎陳老師希望我們從小學課堂教學實況或是從數學專科知識去解答。陳老師可否先簡單述說問題產出的背景，以便我們進一步跟進。
鄧國俊 覆
2015-04-23 11:50:01
由 陳老師 回覆：
此類穿孔圖形在坊間的補充練習出現過，而課本的學習中甚少涉及此提問此類圖形的周界的題目，學生遇到時會感到疑惑。
2015-05-05 08:57:25
由 梁兆彬 回覆：
在小學教授周界時，一般我們會用：「閉合平面圖形周圍的邊界，稱為周界」。教科書中往往也會用一些圖內有線條的圖畫，例如一所有門窗的房子，一個有眼睛、鼻子、嘴巴的面孔，讓學生畫上圖形的周界，好考驗他們對周界的認識。如果以上面的圖形來說，假如沒有加上環內陰影，那周界只應計算外圍，內裏的「圈」就不應 計算了。假如問陰影部分圖形的周界，我認為應「計埋」內圈。同時，小學很多時著重情境教學，如果上圖加上情境：例如一個環形水池，要加上欄柵，問欄柵的長度，那就解決了不明朗的情況了。至於周界在數學上的正式定義，就有勞數學專家補充了。但這些定義是否適合小學生程度，則是另一個議題了。
2015-05-07 16:09:36
由 黃毅英博士 回覆：
我們若找一本標準的數學書或數學詞典（甚或網上搜尋），「周界」是有相當清楚的定義的。
在看看定義之前，我們不妨考慮一個問題，在數學上，我們往往希望「特殊情況」能與一般情況接軌，例如本來 3^0 沒有定義（甚麼叫 3 自乘 0 次呢？）但為了慣常法則（指數定律）依舊行得通，於是我們別無選擇，只有定義 3^0 = 1，（一般來說，對於 a > 0，均有 a^0 = 1），因為3^0 = 3^(1-1) = (3^1)/(3^1) = 3/3 = 1
返回周界「現場」，以下圖形的周界會是甚麼呢？
毅
perimeter.docx
2015-05-08 09:05:13
由 鄧國俊博士 回覆：
在思考黃毅英教授的"周界"問題時，我想給大家留意“接軌”這個比喻。(希望「特殊情況」能與一般情況接軌)
其實小學數的範疇亦有不少這樣的“接軌”例子，如 6x4, 6x3, 6x2 較容易找出使學生明白的生活情境，但6x1已有些勉強，6x0就很困難，當然，升上中學，6x-1, 6x-2, -6x-2 …….就更難找生活實例。
整數乘以真分數當然亦可看成與接軌有關，如6x1/3，對小學生來說，6除以3是容易理解得多，而且答案是2，比6小。但為何6x1/3答案不是倍大而是縮小呢？小朋友實不容易接受。所以，梁兆彬校長提到，小學很多時著重情境教學，就是要減少小學生接軌時所遇到的認知衝突。
2015-05-09 16:23:14
由 陳老師 回覆：
黄教授，我看過了您的回應並明白您的意思。左二圖的周界就很清楚了，如此推斷，第三圖的周界就應把"內框"也計算在內。這我也是同意的。但在數學上，我們也許不能事事靠常識性推斷。想請教一下，數學上的正規定義又是怎樣？
2015-05-11 08:28:32
由 黃毅英博士 回覆：
對的，陳老師。數學講求嚴謹性。不過統一化只是嚴謹性的一個面相。不同數學家、不同年代採取的定義不同不足為奇。但無論如何，抽象的定義也是源於實際和具體的實例。從"自乘"一例就很清楚了。如果孩子有朝一日真会在數學方面發展，除了嚴謹性，這種意識、直覺也是很重要的。我最近就為《現代教育通訊》寫了"數學化過程與數學的雙重本質"一文，您有興趣可去看看。
返回周界的問題，我們想知道"一塊圖形"的邊界如何定義，就要先問，甚麼是"一塊圖形"和對於"一塊圖形"甚麼是它的邊界了。
2015-05-11 15:48:55
由 陳老師 回覆：
我明白您想說甚麼，我們要把討論局限到二維平面圖形，例如曲線等就無從談周界了。這樣規限了，邊界的定義不就很清楚了嗎？
2015-05-11 16:17:48
由 黃毅英博士 回覆：
對。就是所謂"封閉圖形"。不封閉、破了口就很麻煩了。不過一些"古靈精怪"的圖形也有數學家研究的，如曲面(彎曲了的薄片)、圖形當中抽走一些線(就好像毛衣的幾根線脫掉了)、穿了很多(甚至無窮個)孔的板塊…，但這些是數學家的事，不是我們的範圍。
在數學上，邊界就好像國家的邊防一樣，是從圖形外部通向內部必經之處。"外部"不是指向外，"並非圖形範圍就是外部了。故此最初提出的"圈餅"，內圓也是外部。故此周界包含內框就清楚不過了。
2015-05-11 16:23:25
由 陳老師 回覆：
謝謝黄教授!
2015-05-11 17:35:16
由 黃毅英博士 回覆：
不要客氣。其實這亦切合實際的。非洲有個國家叫萊索托完全南非包圍，(暫不理會史瓦濟蘭),南非的版圖就像圈餅。它建立邊防圍欄時能不包括內框嗎？
2015-05-11 17:47:23
由 陳老師 回覆：
這個非洲國家的例子很具體易於明白，小學生也能理解!!
2015-05-12 08:31:50
由 鄧國俊博士 回覆：
梁校長的環形水池例子實在很好！
2015-05-09 16:26:22
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